|z|-z=i lösbar? < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wie der Name schon sagt, soll man komplexe Zahlen z finden, die die Gleichung lösen.
Nun habe ich da ewig dran rumgerechnet, aber bin zu keinem Ergebnis gekommen.
Rechnung:
Sei $z=a+bi, a,b [mm] \in \IR$.
[/mm]
$|z|-z=i$
[mm] \gdw \sqrt{a^2+b^2}=a+(b+1)i
[/mm]
[mm] \Rightarrow a^2+b^2=a^2+2a(b+1)i-(b+1)^2
[/mm]
[mm] \gdw a=-\bruch{(b^2+b+\bruch{1}{2})i}{b+1}
[/mm]
Nun könnte ich ja b irgendwie setzen, sodass ich ein a erhalte. Das Problem ist, dass $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] sein müssen.
Will ich den Bruch nun =0 setzen, damit das i verschwindet und a reell sein kann, so ist b nicht reell [mm] ($b^2+b+\bruch{1}{2}=0$ [/mm] hat nur komplexe Lösungen für b).
Will mir die Aufgabe damit also sagen, dass man selbst in [mm] \IC [/mm] nicht alles lösen kann, oder rechne ich einfach nur falsch?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mi 11.11.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Nun habe ich da ewig dran rumgerechnet, aber bin zu keinem
> Ergebnis gekommen.
Schade, ganz schade!
> Rechnung:
> Sei [mm]z=a+bi, a,b \in \IR[/mm].
>
> [mm]|z|-z=i[/mm]
>
> [mm]\gdw \sqrt{a^2+b^2}=a+(b+1)i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a^2+b^2=a^2+2a(b+1)i-(b+1)^2[/mm]
Erstmal eine grundsätzliche Frage: Wann sind 2 komplexe Zahlen gleich?
Genau: Wenn die Realteile und die Imaginärteile gleich sind.
Dies ist noch kein Wink mit dem Zaunpfahl, aber vielleicht mit dem Zimmermannsbleistift; hilft er dir?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, das hab ich auch probiert.
[mm] \sqrt{a^2+b^2}-a-bi=i, [/mm] also:
[mm] \sqrt{a^2+b^2}-a=0
[/mm]
-b=1
Daraus folgt sofort b=-1 und damit dann [mm] \sqrt{a^2+1}-a=0 \gdw a=\sqrt{a^2+1}.
[/mm]
Dann ist aber [mm] a^2=a^2+1 [/mm] und damit 0=1.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mi 11.11.2009 | | Autor: | statler |
> Ja, das hab ich auch probiert.
Na klasse!
> [mm]\sqrt{a^2+b^2}-a-bi=i,[/mm] also:
>
> [mm]\sqrt{a^2+b^2}-a=0[/mm]
> -b=1
>
> Daraus folgt sofort b=-1 und damit dann [mm]\sqrt{a^2+1}-a=0 \gdw a=\sqrt{a^2+1}.[/mm]
>
> Dann ist aber [mm]a^2=a^2+1[/mm] und damit 0=1.
Das ist auch genau das, was Fred dir sagen wollte (oder gesagt hat). Warum ist das hier jetzt als Frage eingestellt, es ist doch alles klar. Um das formal abzurunden, könntest du noch die Lösungsmenge [mm] \IL [/mm] angeben: [mm] \IL [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Prima!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Ah ok!
Ich dachte zuerst, dass da nun doch etwas herauskommt (und was die Form einer komplexen Zahl hat).
Aber es führt wohl kein Weg an der leeren Lösungsmenge vorbei.
Danke an euch beide!
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Mi 11.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Aus $|z| -z= i$ folgt $z=|z|-i$. Damit ist $Re(z) = |z|$ und daher
$|z|= [mm] \wurzel{|z|^2+1}$
[/mm]
So, nun quadriere mal und schau, was passiert.
FRED
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